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Stephan Gerlach (21.03.2020, 03:45)
Wir gehen aus von einer abgeschlossenen Population, in der die Anzahl N
der zum Zeitpunkt t Infizierten Personen angegeben werden soll.
Eine Quick-&-dirty-Modellierung:

N_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) infizierten Personen
N_g = Gesamt-Anzahl aller Personen in der Population (zu jedem Zeitpunkt
konstant)
t = Zeit (genauer: Zeitpunkt)
dt = (infinitesimales) Zeitintervall
K = Anzahl aller(!) Kontakte in der Population im Zeitintervall dt
N(t) = Anzahl der infinierten Personen zum Zeitpunkt t
dN = Anzahl neu infizierter Personen im Zeitintervall dt

k = verhaltensabhängige Konstante der Population, nicht von N_g oder t
abhängig, beschreibt die Anzahl aller Kontakte pro Gesamtzahl Personen
und pro Zeitintervall, also k = K/(N_g*dt)

K_{i,n} = Anzahl aller Kontakte der Art [infiziert<->nicht_infiziert] in
der Population im Zeitintervall dt

p = Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Kontakt, daß dieser Kontakt
von der Art [infiziert<->nicht_infiziert] ist.

Weitere Bemerkungen / idealisierte Annahmen:
- Eigentlich sind K, N(t), dN, K_{i,n} Zufallsvariablen, und man müßte
statt ihrer selbst deren Erwartungswerte benutzen. Der Einfachheit
halber identifizieren wir die Zufallsvariablen mit ihren Erwartungswerten.
- k ist zeitlich konstant (wurde schon erwähnt)
- Eine einmal infizierte Person bleibt der Population als infizierte
Person "erhalten". (Aufgrund dieser Annahme ist die Prognose als
pessimistisch zu bezeichnen.)

Gesucht ist N als Funktion von t, d.h. N(t).

Es gilt

K = k*N_g*dt
dN = K{i,n}
K_{in} = K*p
p = 2*n*(N_g-N)/((N_g*(N_g-1))

Das führt zur Differentialgleichung bzw. dem Anfangswertproblem

dN/dt = 2*k*N*(N_g-N)/(N_g-1)
N(0) = N_0.

Die Lösung ist (selber nachrechnen / prüfen, ob's stimmt):

N(t) = N_g/2 * [tanh(artanh(2*N_0/N_g-1) + k*N_g/(N_g-1)*t) + 1]

In Kurzform:

N(t) = a * tanh(b*t + c) + d.

mit gewissen Parametern a, b, c, d.
D.h. der Graph von N ist eine "verschobene und gestreckte/gestauchte"
Tangenshyperbolicus-Funktion.

Eine etwas einfachere(?) Form der Lösung lautet

N(t) = N_g*N_0 / (N_0 + (N_g-N_0)*e^[-2*k*N_g*t/(N_g-1)]).

Für t --> unendlich konvergiert das Ganze gegen N_g, was plausibel
erscheint.

Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den
Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein tangenshyperbolisches.
Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach nur besser, weil das jeder
Zuschauer gut aus der Schule kennt.

Bezieht man mögliche Heilungen mit ein, wird es vermutlich "noch weniger
exponentiell". Allerdings ist es wohl so, daß es am Anfang, d.h. für
kleine t, wie ein exponentielles Wachstum aussieht.
pirx42 (21.03.2020, 08:48)
Am 21.03.20 um 02:45 schrieb Stephan Gerlach:
[..]
> Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein
> tangenshyperbolisches.
> Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach nur besser, weil das jederZuschauer gut aus der Schule kennt.


Manche sagen auch logistische Kurve:

Mostowski Collapse (21.03.2020, 10:47)
How do you fit a sigmoid with data?

Currently in the accelerating branch of sigmoid,
number of cases doubling every 3 days:

Comparison of different countries


Am Samstag, 21. März 2020 02:38:03 UTC+1 schrieb Stephan Gerlach:
[..]
Mostowski Collapse (21.03.2020, 11:02)
In the accelerating branch, tanh(x) is more
or less the same as e^(1+x), i.e. exponential:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=tanh%28x%29-e^%281%2Bx%29

I don't know a more precise mathematical
statement of this observation.

Am Samstag, 21. März 2020 09:47:31 UTC+1 schrieb Mostowski Collapse:
[..]
Carlos Naplos (21.03.2020, 13:03)
Am 21.03.2020 um 02:45 schrieb Stephan Gerlach:
> Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den
> Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein tangenshyperbolisches.
> Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach nur besser, weil das jeder
> Zuschauer gut aus der Schule kennt.


Ich halte es auch für bedenklich, wenn Studienabbrecher, die ihr Abitur
mit 4.x in Mathematik bestanden haben, die Bevölkerung mit
Exponentialfunktionen in Angst und Schrecken versetzen können.

Stimmt es, dass es zu jeder (reellen) Exponentialfunktion auf jedem
endlichen Intervall eine lineare Funktion gibt, die an jeder Stelle
einen größeren Wert und eine größere Steigung hat?

Fragt sich
CN
Ralf Goertz (21.03.2020, 14:36)
Am Sat, 21 Mar 2020 12:03:18 +0100
schrieb Carlos Naplos <carna>:

> Am 21.03.2020 um 02:45 schrieb Stephan Gerlach:
> Ich halte es auch für bedenklich, wenn Studienabbrecher, die ihr
> Abitur mit 4.x in Mathematik bestanden haben, die Bevölkerung mit
> Exponentialfunktionen in Angst und Schrecken versetzen können.
> Stimmt es, dass es zu jeder (reellen) Exponentialfunktion auf jedem
> endlichen Intervall eine lineare Funktion gibt, die an jeder Stelle
> einen größeren Wert und eine größere Steigung hat?


Hm, warum nicht? Da das Intervall endlich ist, hat es ein
Minimum/Maximum (sofern es abgeschlossen ist, wenn nicht, nehmen wir
Infimum und Supremum dazu) und damit ist auch der Anstiegs endlich mit
einem Maximum m. Die lineare Funktion (m+1)*x+n, die an min(x) den
Funktionswert der Exponentialfunktion +1 annimmt, hat überall auf dem
Intervall einen größeren Funktionswert und eine größereSteigung.
Martin Vaeth (21.03.2020, 17:17)
Stephan Gerlach <mam99hes> schrieb:
> Eine etwas einfachere(?) Form der Lösung lautet
> N(t) = N_g*N_0 / (N_0 + (N_g-N_0)*e^[-2*k*N_g*t/(N_g-1)]).
> Für t --> unendlich konvergiert das Ganze gegen N_g, was plausibel
> erscheint.


Es gibt viele epidemologische Modelle, und das ist natürlich ein
sehr einfaches. Aber nehmen wir das mal der Einfachheit halber an.

> Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den
> Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein tangenshyperbolisches.


Jein: Exponentielles Wachstum (im Sinne einer reinen
Exponentialfunktion) würde natürlich sehr schnell die Anzahl aller
Menschen übersteigen, was deshalb nicht stimmen kann.
Es ist klar, dass man die Gesamtzahl N_g asymptotisch erreichen muss
(bei diesem stark vereinfachten Modell, das natürlich vieles nicht
berücksichtigt!)

Allerdings erreicht diese Funktion die Asymptote exponentiell schnell:
N_g - N(t) verhält sich für t gegen unendlich wie C*exp(-c*t) (etwa
in dem Sinne, dass der Quotient für geeignete c,C>0 gegen 1 konvergiert),
fällt also insbesondere schneller gegen 0 als für jede rationale Funktion,
die sich von unten der Asymptote N_g nähert.

Zudem hat N wie schon bemerkt für nicht allzu große t>0 ebenfalls
annäherend exponentielles Verhalten: Um sich das klarzumachen, braucht
man nur zu beobachten, dass für nicht allzu große t>0, der erste
Summand N_0 im Nenner gegenüber dem zweiten (nahezu N_g) klein ist
und daher mal zur Vereinfachung weggelassen werden kann: Schon steht
dort die reine Exponentialfunktion. Das ist zwar nur eine grobe
Heuristik, beschreibt das Verhalten für kleine t>0 aber sehr gut,
und das ist genau der Fall, den wir dieser Tage erleben.
Mostowski Collapse (21.03.2020, 20:13)
tanh'(x) = 1 - tanh(x)^2

Das müsste dann ungefähr die Form des
Verlaufs der täglich infinizierten sein:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1-tanh%28x%29^2

Am Samstag, 21. März 2020 16:17:30 UTC+1 schrieb Martin Vaeth:
[..]
Walter H. (22.03.2020, 20:20)
On 21.03.2020 12:03, Carlos Naplos wrote:
> Am 21.03.2020 um 02:45 schrieb Stephan Gerlach:
> Ich halte es auch für bedenklich, wenn Studienabbrecher, die ihr Abitur
> mit 4.x in Mathematik bestanden haben, die Bevölkerung mit
> Exponentialfunktionen in Angst und Schrecken versetzen können.

jedes natürliche Wachstum liegt einer Exponentialfkt. zu Grunde, die
Frage ist nur welche Basis man wählt;
auch eine Verzinsung am Sparbuch mit dem momentanen
Nanozins von 0,01% p.a. ist ein exponentielles Wachstum;
K_<nach n Jahren> = K_<jetzt> * 1.0001^n
(dauert halt nur a paar Jahre mehr bis sich des verdoppelt)

bei dieser Pandemie gilt es zwingend die tägl. Zuwachsraten auf einen
einstellungen Prozentbereich zu drücken - noch besser auf 0 zu bringen;
nebenbei: mit falschen (geschönten) Zahlen kann man auch ein Volk
hinters Licht führen;

Italien hat angeblich Stand 3/22/2020 6:43:06 p.m.
(Quelle:
)
etwas mehr als 53500 bestätigte Personen mit Coronavirus, aber auch
bereits 4825 Todesfälle auf Grund von Corona verzeichnet;

alleine wenn nur diese Zahlen stimmen, würde jede Regierung welche nicht
unmittelbar ein ganzes Maßnahmenpaket auf die Reihe bringt wegen ...<mir
fehlt der Begriff>... vor ein Gericht gestellt werden;
so nach dem Motto: schließ ma mal die Schulen, dann schau ma mal;
ach dann schließ ma mal Kinos, ..., ...
passt nicht zu den Zahlen in Italien;

die Zahlen von China sind ohnehin geschönt, weil dass die 'nur' etwas
mehr als 3000 Todesfälle bei nichtmal 100 000 Fällen auf Grund des
Coronavirus zu verzeichnen hatten, glaube wer will ..., die passen
einfach nicht;
Ralf Bader (22.03.2020, 21:29)
On 03/21/2020 02:45 AM, Stephan Gerlach wrote:
[..]
> Bezieht man mögliche Heilungen mit ein, wird es vermutlich "noch weniger
> exponentiell". Allerdings ist es wohl so, daß es am Anfang, d.h. für
> kleine t, wie ein exponentielles Wachstum aussieht.


Ich habe das jetzt nicht genauer gelesen. In Murray, Mathematical
Biology I, ist Ch. 10 den "Dynamics of Infectious diseases" gewidmet, es
wird da ein vom Deinigen jedenfalls abweichendes Modell, von Kermack und
McKendrick 1927 angegeben, diskutiert, in dem ebenfalls
tangenshyperbolisches Wachstum auftritt. Siehe auch
Juergen Ilse (22.03.2020, 22:31)
Hallo,

In de.sci.mathematik Walter H. <Walter.H-Nntp> wrote:
> Italien hat angeblich Stand 3/22/2020 6:43:06 p.m.
> (Quelle:
> )
> etwas mehr als 53500 bestätigte Personen mit Coronavirus, aber auch
> bereits 4825 Todesfälle auf Grund von Corona verzeichnet;


Italien hat insgesamt 60.000.000 Einwohner und 5200 Betten auf Intensiv-
stationen. Da wurde bislang auch nicht wesentlich aufgestockt. Und nicht
alle dieser 5200 Intensivbetten bieten eine Beatmungsmoeglichkeit ...

> die Zahlen von China sind ohnehin geschönt, weil dass die 'nur' etwas
> mehr als 3000 Todesfälle bei nichtmal 100 000 Fällen auf Grund des
> Coronavirus zu verzeichnen hatten, glaube wer will ..., die passen
> einfach nicht;


Die passen vermutlich schon. Im Gegensatz zu Italien wurde (nachdem die
Epidemie zugegeben wurde, was allerdings rund einen Monat gedauert hatte)
wurde in wenigen Tagen im Hauptgefahrengebiet eine grosse komplett neue
Lungenklinik aus dem Boden gestampft. Innerhalb weniger Tage wurden deut-
lich mehr Intensivbetten zusaetzlich geschaffen, wie In Italien insgesamt
zur Verfuegung stehen. In Deutschland gab es aktuell 55 Tote bei 18.610
Infizierten. Das sind bezogen auf die Fallzahlen nicht wesentlich mehr
als in China und weniger als 1/20 dessen, was wir in Italien an Toten
relativ zur Zahl der Infektionen haben. In Deutschland hatten wir aller-
dings auch schon vor der Krise ca. 25.000 Intensivbetten, was inzwischen
um weitere 3000 aufgestockt wurde. Ein Drittel mehr an Bevoelkerung und
mehr als 5 mal so viele Intensivbetten (mit einem hoeheren Anteil mit
Beatmulngsmoeglichkeit aks in Italien) scheint also nicht so ganz sinn-
los zu sein ...

Tschuess,
Juergen Ilse (juergen)
Hans Crauel (22.03.2020, 23:25)
Stephan Gerlach schrieb

[..]
> Weitere Bemerkungen / idealisierte Annahmen:
> - Eigentlich sind K, N(t), dN, K_{i,n} Zufallsvariablen, und man müßte
> statt ihrer selbst deren Erwartungswerte benutzen.


Das ist eine Frage der Modellierung. Will man Zufall einbeziehen, so
müsste man spezifizieren, welcher Zufall in welcher Form eingehen
soll, und das müsste man eigentlich gut überlegen. Häufig wird bei
solchen Modelle einfach ein multiplikatives weißes Rauschen addiert,
vor allem weil man mit dem Ito-Kalkül schön rechnen kann.

[..]
> Bezieht man mögliche Heilungen mit ein, wird es vermutlich "noch weniger
> exponentiell". Allerdings ist es wohl so, daß es am Anfang, d.h. für
> kleine t, wie ein exponentielles Wachstum aussieht.


Das ist ein einfaches, aber nicht unrealistisches Modell, im
wesentlichen die "logistische Differentialgleichung".
Weitere Modelle werden in Jan W. Prüß, Roland Schnaubelt und
Rico Zacher, "Mathematische Modelle in der Biologie", Birkhäuser 2008,
vorgestellt und untersucht, insbesondere in Kapitel II: "Infektionen"
und Kapitel III: "Viren und Prionen".

Aber das Gerede vom "exponentiellen Wachstum" ist natürlich Unfug,
sobald es sich auf asymptotisches Verhalten beziehen soll, oder
banal, wenn es sich auf beschränkte Zeitintervalle beziehen soll.
Die Lösung jeder skalaren Differentialgleichung dx/dt = f(x) (oder
auch dx/dt = f(x,t)) mit f(x(t_0)) > 0 für einen Zeitpunkt t_0
wächst ab t_0 "erst einmal" exponentiell.

Hans
Walter H. (23.03.2020, 07:35)
On 22.03.2020 21:31, Juergen Ilse wrote:

>> die Zahlen von China sind ohnehin geschönt, weil dass die 'nur' etwas
>> mehr als 3000 Todesfälle bei nichtmal 100 000 Fällen auf Grund des
>> Coronavirus zu verzeichnen hatten, glaube wer will ..., die passen
>> einfach nicht;

> Die passen vermutlich schon. ...

leider nein - fehlerhafte Größenordnungen, dort war der Ausbrauch auch
bereits im Nov. 2019(!)
und WUHAN ist kein Kuhdorf sondern hat mehr Einwohner als alle Mio.
Städte von Deutschland zusammen ...
und bei WUHAN alleine blieb es nicht;
Carlos Naplos (23.03.2020, 18:17)
Am 22.03.2020 um 19:20 schrieb Walter H.:
> On 21.03.2020 12:03, Carlos Naplos wrote:
> jedes natürliche Wachstum liegt einer Exponentialfkt. zu Grunde, die


Eine Exponentialfunktion ist nicht beschränkt.

Ich weiß nicht, was Du unter "natürlichem Wachstum" verstehst.

In der Natur vorkommende Wachstumsprozesse sind beschränkt, z.B. bei
einer Epidemie durch die Zahl derer, die infiziert werden könnten, beim
Wachstum einer Zellkultur durch die Größe der Petrischale oder die
verfügbare Nährstoffmenge, beim radioaktiven Zerfall durch die
vorhandene Stoffmenge ...

Wie oben in diesem Thread (pirx42) bereits erwähnt, werden solche
Wachstumsprozesse durch sogenannte logistische Funktionen
() beschrieben.

Diese Funktionen haben einen Wendepunkt und nähern sich assymptotisch
der Obergrenze.
Mag sein, dass sie - wie der OP schon angemerkt hat - für
Abszissenabschnitte vor dem Wendepunkt mit einer Exponentialfunktion
approximiert werden können.

CN
Walter H. (23.03.2020, 20:12)
On 23.03.2020 17:17, Carlos Naplos wrote:
> Am 22.03.2020 um 19:20 schrieb Walter H.:
> Eine Exponentialfunktion ist nicht beschränkt.
> Ich weiß nicht, was Du unter "natürlichem Wachstum" verstehst.
> In der Natur vorkommende Wachstumsprozesse sind beschränkt ...


so lange aber die Schranke nicht zum Tragen kommt, sind diese exponentiell;

> z.B. bei
> einer Epidemie durch die Zahl derer, die infiziert werden könnten,


solche Banalitäten berücksichtigt man bei derartigen Betrachtungen mal
nicht;
weil diese Schranke will man eben nicht dass erreicht wird; man will es
ja vorher schon stoppen ...

in den USA ist das Ganze - deren System sei Dank - mittlerweile bereits
außer Kontrolle geraten ..., zugeben wird dies aber niemand, man will ja
das Gesicht nicht verlieren ...

Nachsatz: Dein Wohlstand beruht übrigens auf ewigem Wachstum ;-)

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