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Ganzhinterseher (03.02.2020, 11:10)
Daß es aber Herrn I. {{Illigens}} selbst, welcher am Schlusse seines Aufsatzes ausdrücklich die Irrationalzahlen anerkennt, an einer Definition der letzteren fehlt, erkennt man aus seiner Auflösung der Gleichung x^2 = 3, welche vermeintlich durch sqrt3 geschieht; während offenbar sqrt3 nichts anderes ist als eine Umschreibung der aufgeworfenen Frage: eine Zahl zu suchen, deren Quadrat 3 ist. sqrt3 ist also nur ein Zeichen für eine Zahl, welche erst noch gefunden werden soll, nicht aber deren Definition. Letztere wird jedoch in meiner Weise etwa durch

(1,7, 1,73, 1,732, ...)

befriedigend gegeben." [G. Cantor: "Bemerkungen mit Bezug auf den Aufsatz: Zur Weierstraß-Cantorschen Theorie der Irrationalzahlen" Math. AnnalenBd. 33, S. 476 (1889)]

Das ist falsch!

Eine Irrationalzahl kann nicht durch eine unendliche Ziffernfolge definiertwerden, denn Definitionen setzen immer ein Ende voraus. Irrationalzahlen sind durch ihre Formel, die die Berechnung jeder Ziffer und damit einen beliebig kleinen positiven Fehler erlaubt, definiert - oder durch einen allgemeinverständlichen Hinweis auf eine solche Formel, wie hier von Herrn Illigens gegeben.

Deswegen kann das Cantorsche Diagonalverfahren keine transzendenten Zahlen "beweisen" und deswegen ist auch das Neunerproblem, zuerst von Klein [FelixKlein: "Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie", Teubner, Leipzig (1895) p. 42] erwähnt, kein Problem sondern lediglich ein Hinweis auf falsch verstandene Mathematik. Ohne diese fehlerhafte Interpretation zeigt das Diagonalverfahren lediglich, dass zu jeder endlichen Folge von endlichen Ziffernfolgen eine weitere endliche Ziffernfolge konstruierbar ist, also die Nichtabzählbarkeit aller endlichen Ziffernfolgen und damit die Widerlegung von Cantors Abzählkonstruktion der rationalen Zahlen (dargestellt als endliche Dezimalfolgen mit dem zusätzlichen Zeichen p für Periode). Ein vollendetes Unendliches existiert weder in der Liste noch als Liste.

Grundsätzlich sollte jeder Mathematiker verstehen können: Eine Formel liefert eine potentiell unendliche Reihe und ggf. ihren Grenzwert. Eine potentiell unendliche Reihe liefert keine Zahl und keine Formel für die Reihe. Eine aktual unendliche Folge gibt es nicht, jedenfalls kann diese unendliche Information nirgendwo gespeichert werden.

Gruß, WM
Rudolf Sponsel (04.02.2020, 16:01)
Am 03.02.2020 um 10:10 schrieb Ganzhinterseher:
....
> Eine Irrationalzahl kann nicht durch eine unendliche Ziffernfolge definiert werden, denn Definitionen setzen immer ein Ende voraus.


Demnach dürften natürliche Zahlen nicht definierbar sein?

> Gruß, WM


Gruß RS
Helmut Richter (04.02.2020, 16:03)
On Tue, 4 Feb 2020, Rudolf Sponsel wrote:

> Am 03.02.2020 um 10:10 schrieb Ganzhinterseher:
> ...
> > Eine Irrationalzahl kann nicht durch eine unendliche Ziffernfolge definiert
> > werden, denn Definitionen setzen immer ein Ende voraus.

> Demnach dürften natürliche Zahlen nicht definierbar sein?


Alle natürlichen Zahlen haben eine endliche Ziffernfolge.

Zwischen unbeschränkt und unendlich gibt es einen Unterschied, aber den
verstehst du nicht.
Me (04.02.2020, 21:32)
On Monday, February 3, 2020 at 10:10:33 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:

> [So] zeigt das Diagonalverfahren lediglich, dass zu jeder endlichen Folgevon endlichen
> Ziffernfolgen eine weitere endliche Ziffernfolge konstruierbar ist, also <brabbel>


Dazu braucht man kein Diagonalverfahren, Sie mathematischer Vollkoffer. Jede endliche (nichtleere) Folge von Ziffernfolgen enthält eine (oder mehrere) Ziffernfolge mit maximaler Länge. Man braucht also lediglich eine Ziffer an eine solche Ziffernfolge anzuhängen und erhält eine (neue) endliche Ziffernfolge, die nicht in der Folge der Ziffernfolgen enthalten war.

> die Nichtabzählbarkeit aller endlichen Ziffernfolgen


Sie haben offenbar nicht mehr alle Tassen im Schrank, Herr Nichtsversteher.

Die endlichen Ziffernfolgen sind selbstverständlich abzählbar. Dazu braucht man sie lediglich der Länge nach (lexikographisch) anzuordnen:

0 <-> "0"
1 <-> "1"
2 <-> "2"
3 <-> "3"
4 <-> "4"
5 <-> "5"
6 <-> "6"
7 <-> "7"
8 <-> "8"
9 <-> "9"
10 <-> "10"
11 <-> "11"
12 <-> "12"
:

> und damit <blubber>


Halten Sie einfach mal Ihren Mund, Herr Unsinnsverbreiter.
Ganzhinterseher (05.02.2020, 11:00)
Am Dienstag, 4. Februar 2020 20:32:03 UTC+1 schrieb Me:
> On Monday, February 3, 2020 at 10:10:33 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> > [So] zeigt das Diagonalverfahren lediglich, dass zu jeder endlichen Folge von endlichen
> > Ziffernfolgen eine weitere endliche Ziffernfolge konstruierbar ist, also <brabbel>

> Dazu braucht man kein Diagonalverfahren.


Deswegen braucht man es überhaupt nicht.

> Jede endliche (nichtleere) Folge von Ziffernfolgen enthält eine (oder mehrere) Ziffernfolge mit maximaler Länge. Man braucht also lediglich eine Ziffer an eine solche Ziffernfolge anzuhängen und erhält eine (neue) endliche Ziffernfolge, die nicht in der Folge der Ziffernfolgen enthalten war.


Das gilt offenbar nicht für die Folgen, die hier aufgezählt sind,also die Folgen definierbarer Zahlen. Oder kannst Du da etwas anhängen?

{1} = {1}
{1} U {1, 2} = {1, 2}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} = {1, 2, 3}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4,}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} U {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
....

Gruß, WM
Me (05.02.2020, 11:08)
On Wednesday, February 5, 2020 at 10:00:42 AM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
> Am Dienstag, 4. Februar 2020 20:32:03 UTC+1 schrieb Me:
> Deswegen braucht man es überhaupt nicht.
> Das gilt offenbar nicht für die Folgen, die hier aufgezählt sind, also die Folgen definierbarer Zahlen. Oder kannst Du da etwas anhängen?
> {1} = {1}
> {1} U {1, 2} = {1, 2}
> {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} = {1, 2, 3}
> {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4,}
> {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} U {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
> ...
> Gruß, WM


Du redest mal wieder wirres Zeug daher, Mückemheim.
Ganzhinterseher (05.02.2020, 11:54)
Am Dienstag, 4. Februar 2020 15:01:23 UTC+1 schrieb Rudolf Sponsel:
> Am 03.02.2020 um 10:10 schrieb Ganzhinterseher:
> ...
> > Eine Irrationalzahl kann nicht durch eine unendliche Ziffernfolge definiert werden, denn Definitionen setzen immer ein Ende voraus.

> Demnach dürften natürliche Zahlen nicht definierbar sein? Jede natürliche Zahl besitzt eine endliche Darstellung. Demnach müsste jede natürliche Zahl definierbar sein. ABER die Mengenlehre behauptet, dass die Endsegmente E(k) = {k, k+1, k+2, ...} aller natürlichen Zahlen einen leeren Schnitt ergeben:


?{E(k) | k ? ?} = { }

während alle Endsegmente keinen leeren Schnitt ergeben:

?k ? ?: ?{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ?o . (*)

Das ist ein Widerspruch, weil alle in der letzten Zeile auftretenden Endsegmente nicht einfach "irgendwie umgeordnet" werden können, um eine unendlich Verkettung zu bilden. Die stehen nämlich alle am Ende von Ketten..

Deswegen kann die Menge ? nicht in beiden Fällen dieselbe sein.. Deswegen muss es im Falle aktualer Unendlichkeit undefinierbare natürliche Zahlen geben. Die Menge aller definierbaren Zahlen ist potentiell unendlich. Das wird einfach dadurch beweisen, dass niemand eine Zahl definieren kann, die in (*) fehlt.

Gruß, WM
Juergen Ilse (05.02.2020, 13:21)
Hallo,

Ganzhinterseher <claus.vonnesser> wrote:
> Am Dienstag, 4. Februar 2020 15:01:23 UTC+1 schrieb Rudolf Sponsel:
>> Am 03.02.2020 um 10:10 schrieb Ganzhinterseher:
>> ...
>> > Eine Irrationalzahl kann nicht durch eine unendliche Ziffernfolge definiert werden, denn Definitionen setzen immer ein Ende voraus.

>> Demnach dürften natürliche Zahlen nicht definierbar sein?

> Jede natürliche Zahl besitzt eine endliche Darstellung.


Korrekt.

> Demnach müsste jede natürliche Zahl definierbar sein.


Ja.

> ABER die Mengenlehre behauptet, dass die Endsegmente
> E(k) = {k, k+1, k+2, ...} aller natürlichen Zahlen einen leeren Schnitt
> ergeben:
> ?{E(k) | k ? ?} = { }


Das ist korrekt (und auch trivial beweisbar).

> während alle Endsegmente keinen leeren Schnitt ergeben:
> ?k ? ?: ?{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ?o . (*)


Die formal mit dem Allquantor geschriebene Aussage ist korrekt, aber "umgangs-
sprachlich" waere das nicht "alle Endsegmente" sondern "jede endliche Menge
von Endsegmenten" bzw. in diesem Fall "Die Menge von Endsegmenten mit einem
Index kleiner oder gleich einer natuerlichen Zahl k". Das sind eben (egal
fuer welche Zahl k man es auch betrachtet) imme rnur endlich viele, und der
Schnitt nur endlich vieler Endsegmente ist eben etwas anderes als der Schnitt
*aller* Endsegmente, wenn es unendlich viele Endsegmente gibt (was ja der
Fall ist, auch wenn SIE evt. zu wenig mathematisches Verstaendnis aufbringen
um das zu begreifen).

> Das ist ein Widerspruch,


Nein, die Widersprueche ergeben sich erst aus IHRER verqueren Interpretation
mit "dunklöen Zahlen", "nicht auswaehlbaren Elementen einer Menge" und aehn-
lichem Unfug.

> weil alle in der letzten Zeile auftretenden Endsegmente nicht einfach


In welcher "letzten Zeile"?

Die Zeile:

?k ? ?: ?{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k)

ist so zu lesen: Man nimmt eine beliebig natuerliche Zahl k. Fuer die Dauer
dieser Betrachtung bleibt diese (obwohl urspruenglich beliebig gewaehlt)
*fest* und *unveraendert. Fuer diese Zahl k betrachtet man dann den Schnitt
der Endsegmente E(1) bis E(k), und dieser Schnitt ist nun gleich dem Endseg-
ment E(k) (dem mit dem groessten Index aus der Menge der geschnittenen End-
segmente). Das gilt fuer jede "beliebig aber feste" natuerliche Zahl. Das
besagt aber *nichts* darueber aus, wie der Schnitt *aller* Endsegmente (von
denen es keines mit einem "groessten Index" gibt) aussehen koennte, denn
bi diesem Schnitt gibt es eben kein Endsegment mit "groesstem Index" in der
Menge der geschnittenen Endsegmente, denn zu jedem Index gibt es noch einen
groesseren (der auch wieder eine natuerliche Zahl ist), es gibt nur einfach
keinen "groessten", genausowenig wie es keine "groesste natuerliche Zahl"
gibt, obwohl selbstverstaendlich alle natuerlichen Zahlen endlich sind.

Der Allquantor "fuer alle k" legt k fuer den *REST* der Aussage fest, bei
dem Rest der Aussage handelt es sich bei k immer um den selben Wert, es
koennen im Rest der aussage dann nicht auf einmal verschiedene Werte fuer
k auftauchen. Man sagt auch "durch den Allquantor ist k fuer den Rest der
Aussage eine "genundene" Variable". Aber SIE haben ja Quantoren nicht be-
griffen, deswegen wahrscheinlich auch diesen Dachverhalt nicht ...

> "irgendwie umgeordnet" werden können, um eine unendlich Verkettung zu
> bilden. Die stehen nämlich alle am Ende von Ketten.


Was immer dieses Geschwafel auch heissen soll, es ist mit an Sicherheit
grenzender Wahrscheinlichgkeit hahnebuechener Unsinn.

> Deswegen kann die Menge ? nicht in beiden Fällen dieselbe sein.


Weshalb? Weiöl SIE mathematisch zu unfaehig sind, um Quantoren zu begreifen?

Tschuess,
Juergen Ilse (juergen)
Juergen Ilse (05.02.2020, 14:44)
Hallo,

Ganzhinterseher <claus.vonnesser> wrote:
> Am Dienstag, 4. Februar 2020 15:01:23 UTC+1 schrieb Rudolf Sponsel:
>> Am 03.02.2020 um 10:10 schrieb Ganzhinterseher:
>> ...
>> > Eine Irrationalzahl kann nicht durch eine unendliche Ziffernfolge definiert werden, denn Definitionen setzen immer ein Ende voraus.

>> Demnach dürften natürliche Zahlen nicht definierbar sein?

> Jede natürliche Zahl besitzt eine endliche Darstellung.


Korrekt.

> Demnach müsste jede natürliche Zahl definierbar sein.


Ja.

> ABER die Mengenlehre behauptet, dass die Endsegmente
> E(k) = {k, k+1, k+2, ...} aller natürlichen Zahlen einen leeren Schnitt
> ergeben:
> ?{E(k) | k ? ?} = { }


Das ist korrekt (und auch trivial beweisbar).

> während alle Endsegmente keinen leeren Schnitt ergeben:
> ?k ? ?: ?{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ?o . (*)


Die formal mit dem Allquantor geschriebene Aussage ist korrekt, aber "umgangs-
sprachlich" waere das nicht "alle Endsegmente" sondern "jede endliche Menge
von Endsegmenten" bzw. in diesem Fall "Die Menge von Endsegmenten mit einem
Index kleiner oder gleich einer natuerlichen Zahl k". Das sind eben (egal
fuer welche Zahl k man es auch betrachtet) immer nur endlich viele, und der
Schnitt nur endlich vieler Endsegmente ist eben etwas anderes als der Schnitt
*aller* Endsegmente, wenn es unendlich viele Endsegmente gibt (was ja der
Fall ist, auch wenn SIE evt. zu wenig mathematisches Verstaendnis aufbringen
um das zu begreifen).

> Das ist ein Widerspruch,


Nein, die Widersprueche ergeben sich erst aus IHRER verqueren Interpretation
mit "dunklöen Zahlen", "nicht auswaehlbaren Elementen einer Menge" und aehn-
lichem Unfug.

> weil alle in der letzten Zeile auftretenden Endsegmente nicht einfach


In welcher "letzten Zeile"?

Die Zeile:

?k ? ?: ?{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k)

ist so zu lesen: Man nimmt eine beliebig natuerliche Zahl k. Fuer die Dauer
dieser Betrachtung bleibt diese (obwohl urspruenglich beliebig gewaehlt)
*fest* und *unveraendert. Fuer diese Zahl k betrachtet man dann den Schnitt
der Endsegmente E(1) bis E(k), und dieser Schnitt ist nun gleich dem Endseg-
ment E(k) (dem mit dem groessten Index aus der Menge der geschnittenen End-
segmente). Das gilt fuer jede "beliebig aber feste" natuerliche Zahl. Das
besagt aber *nichts* darueber aus, wie der Schnitt *aller* Endsegmente (von
denen es keines mit einem "groessten Index" gibt) aussehen koennte, denn
bei diesem Schnitt gibt es eben kein Endsegment mit "groesstem Index" in der
Menge der geschnittenen Endsegmente, denn zu jedem Index gibt es noch einen
groesseren (der auch wieder eine natuerliche Zahl ist), es gibt nur einfach
keinen "groessten", genausowenig wie es keine "groesste natuerliche Zahl"
gibt, obwohl selbstverstaendlich alle natuerlichen Zahlen endlich sind.

Der Allquantor "fuer alle k" legt k fuer den *REST* der Aussage fest, bei
dem Rest der Aussage handelt es sich bei k immer um den selben Wert, es
koennen im Rest der Aussage dann nicht auf einmal verschiedene Werte fuer
k auftauchen. Man sagt auch "durch den Allquantor ist k fuer den Rest der
Aussage eine "gebundene" Variable". Aber SIE haben ja Quantoren nicht be-
griffen, deswegen wahrscheinlich auch diesen Sachverhalt nicht ...

> "irgendwie umgeordnet" werden können, um eine unendlich Verkettung zu
> bilden. Die stehen nämlich alle am Ende von Ketten.


Was immer dieses Geschwafel auch heissen soll, es ist mit an Sicherheit
grenzender Wahrscheinlichgkeit hahnebuechener Unsinn.

> Deswegen kann die Menge ? nicht in beiden Fällen dieselbe sein.


Weshalb? Weiöl SIE mathematisch zu unfaehig sind, um Quantoren zu begreifen?

Tschuess,
Juergen Ilse (juergen)
Michael Klemm (05.02.2020, 14:52)
Am Dienstag, 4. Februar 2020 15:03:21 UTC+1 schrieb Helmut Richter:
> On Tue, 4 Feb 2020, Rudolf Sponsel wrote:
> Alle natürlichen Zahlen haben eine endliche Ziffernfolge.
> Zwischen unbeschränkt und unendlich gibt es einen Unterschied, aber den
> verstehst du nicht.
> --
> Helmut Richter


Ich weiß jetzt nicht, welches "alle" das in Rudolfs Systematik ist. Vielleicht hilft es, wenn man hier wie in der Frage von "natürlichen Zahlen" spricht. Deren Inbegriff, auch Menge genannt, ist unter den Standardvoraussetzungen definierbar
und sogar explizit definiert. Ein Beispiel für "unbeschränkt" istdie Formulierung: Es gibt (endliche) Beweise, dass die unbeschränkt endliche Zeichenkette pi = 3.1415... die Kreiszahl pi definiert. Ein weiters Beispiel: Die unbeschränkt endliche Zeichenkette 0.999... definiertdie reelle Zahl 1, die man manchmal von der ganzen Zahl gleichen Namens unterscheiden muss.

Gruß
Michael
Ganzhinterseher (05.02.2020, 18:45)
Am Mittwoch, 5. Februar 2020 12:21:56 UTC+1 schrieb Juergen Ilse:

> > ?k ? ?: ?{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ?o . (*)

> Die formal mit dem Allquantor geschriebene Aussage ist korrekt, aber "umgangs-
> sprachlich" waere das nicht "alle Endsegmente" sondern "jede endliche Menge
> von Endsegmenten" bzw. in diesem Fall "Die Menge von Endsegmenten mit einem
> Index kleiner oder gleich einer natuerlichen Zahl k". Das sind eben (egal
> fuer welche Zahl k man es auch betrachtet) imme rnur endlich viele,


Richtig. Das liegt daran, dass jeder definierbare Index zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört. Möchtest Du einen Gegenbeweis führen, so gib bitte ein Gegenbeispiel.

> und der
> Schnitt nur endlich vieler Endsegmente ist eben etwas anderes als der Schnitt
> *aller* Endsegmente


Zumal mit definierbaren Endsegmenten keine unendliche Menge zusammenkommt. Dafür braucht man viel mehr.

>, wenn es unendlich viele Endsegmente gibt (was ja der
> Fall ist,


dann sind die jedenfalls nicht definierbar.

> > Das ist ein Widerspruch,
> > weil alle in der letzten Zeile auftretenden Endsegmente nicht einfach


> ?k ? ?: ?{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k)
> ist so zu lesen: Man nimmt eine beliebig natuerliche Zahl k. Fuer die Dauer
> dieser Betrachtung bleibt diese (obwohl urspruenglich beliebig gewaehlt)
> *fest* und *unveraendert.


Mathematische Tatsachen hängen nicht von Betrachtungsdauern ab.

> Fuer diese Zahl k betrachtet man dann den Schnitt
> der Endsegmente E(1) bis E(k), und dieser Schnitt ist nun gleich dem Endseg-
> ment E(k)


Spare Dir Deine klugen Ratschläge in falschen Beweisketten. Finde ein definierbares Endsegment, das nicht in

?k ? ?: ?{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k)

vorkommt, und sieh endlich ein, dass aus allen diesen Endsegmenten keine unendliche Menge erzeugt werden kann.

Gruß, WM
Ganzhinterseher (05.02.2020, 19:26)
Am Mittwoch, 5. Februar 2020 13:44:20 UTC+1 schrieb Juergen Ilse:

> Der Allquantor "fuer alle k" legt k fuer den *REST* der Aussage fest, bei
> dem Rest der Aussage handelt es sich bei k immer um den selben Wert, es
> koennen im Rest der Aussage dann nicht auf einmal verschiedene Werte fuer
> k auftauchen.


Wenn eine Prozess von Einerstufen von oben die Null erreicht, dann muss er die 1 zuvor passieren. Davon kann kein Quantoren-Unverstand entbinden. Offensichtlich sind Matheologen Verächter der Mathematik. Sie halten die Beendigung des Unendlichen für wichtiger als diese simple Tatsache.

Gruß, WM
Mostowski Collapse (05.02.2020, 21:23)
Also nach 3.1415 gibt es noch überabzählbar
viele verschiedene Ziffernfolgen.

Nur eine ist die Richtige.

On Wednesday, February 5, 2020 at 6:33:05 PM UTC+1, Ganzhinterseher wrote:
[..]
Michael Klemm (05.02.2020, 21:47)
Am Mittwoch, 5. Februar 2020 20:23:19 UTC+1 schrieb Mostowski Collapse:

> Also nach 3.1415 gibt es noch überabzählbar
> viele verschiedene Ziffernfolgen.
> Nur eine ist die Richtige.


Ja, die unendliche Ziffernfolge kann entsprechend den Partialsummen die unbeschränkt endliche Zeichenkette pi genannt werden. Das will ich hier zur Diskussion stellen. Aber Helmut hat, soweit ich mich erinnere, bessere Beispiele.

Gruß
Michael
[..]
Rudolf Sponsel (06.02.2020, 00:13)
Am 05.02.2020 um 10:54 schrieb Ganzhinterseher:
> Am Dienstag, 4. Februar 2020 15:01:23 UTC+1 schrieb Rudolf Sponsel:
>> Am 03.02.2020 um 10:10 schrieb Ganzhinterseher:
>> ...
>>> Eine Irrationalzahl kann nicht durch eine unendliche Ziffernfolge definiert werden, denn Definitionen setzen immer ein Ende voraus.

>> Demnach dürften natürliche Zahlen nicht definierbar sein?

Ich nehme die Frage zurück, sie beruht, glaube ich, auf einem Denk- und
Interpretationsfehler meinerseits. Dass "Zahlen" ohne Ende keine Zahlen
sein können, ist (uns) natürlich klar, das scheinen aber viele anders zu
sehen.

> Jede natürliche Zahl besitzt eine endliche Darstellung. Demnach müsste jede natürliche Zahl definierbar sein. ABER die Mengenlehre behauptet, dass die Endsegmente E(k) = {k, k+1, k+2, ...} aller natürlichen Zahlen einen leeren Schnitt ergeben:


das "aller" scheint mir wieder problematisch. Geht es an einem einfachen
Beispiel? Was ist denn das Endsegment von 2 oder 7?

> ?{E(k) | k ? ?} = { }
> während alle Endsegmente keinen leeren Schnitt ergeben: hm, alle ...


> ?k ? ?: ?{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ?o . (*)

"?o" sollen das alle_g natürlichen Zahlen sein, die bekanntermaßen kein
Ende haben? Sind wir da wieder bei dem Phänomen, dass man etwas
zusammenfassen will, das man nicht zusammenfassen kann, ein Fall für
Vaihinger?

> Das ist ein Widerspruch, weil alle in der letzten Zeile auftretenden Endsegmente nicht einfach "irgendwie umgeordnet" werden können, um eine unendlich Verkettung zu bilden. Die stehen nämlich alle am Ende von Ketten.
> Deswegen kann die Menge ? nicht in beiden Fällen dieselbe sein. Deswegen muss es im Falle aktualer Unendlichkeit undefinierbare natürliche Zahlen geben. Die Menge aller definierbaren Zahlen ist potentiell unendlich. Das wird einfach dadurch beweisen, dass niemand eine Zahl definieren kann, die in (*) fehlt.
> Gruß, WM

Gruß RS

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